圆周率的历史是什么,了解圆周率的发展历史

圆周率

2019年3月14日,谷歌宣布圆周率现已到小数点后31.4万亿位。

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圆周率(Pi)是圆的周长与直径的比值,英国数学家琼斯(William Jones)在 1706 年第一次使用希腊字母 π 来表示圆周率,大数学家欧拉(Leonhard Euler)在 1737 年将这种用法普及开来。

一般以π来表示,是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数。它定义为圆形之周长与直径之比。它也等于圆形之面积与半径平方之比。约等于3.141592654……,它是一个无理数,即是一个无限不循环小数。

圆周率的发展历史

实验时期

一块古巴比伦石匾(约产于公元前1900年至1600年)清楚地记载了圆周率 = 25/8 = 3.125。 约公元前1700年,古埃及文物——莱因德数学纸草书(Rhind Mathematical Papyrus)也表明圆周率等于分数16/9的平方,约等于3.1605。 埃及人似乎在更早的时候就知道圆周率了。 英国作家 John Taylor (1781–1864) 在其名著《金字塔》(《The Great Pyramid: Why was it built, and who built it?》)中指出,造于公元前2500年左右的胡夫金字塔和圆周率有关。例如,金字塔的周长和高度之比等于圆周率的两倍,正好等于圆的周长和半径之比。公元前800至600年成文的古印度宗教巨著《百道梵书》(Satapatha Brahmana)显示了圆周率等于分数339/108,约等于3.139。

几何法时期

古希腊作为古代几何王国对圆周率的贡献尤为突出。古希腊大数学家阿基米德(公元前287–212 年) 开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河。阿基米德从单位圆出发,先用内接正六边形求出圆周率的下界为3,再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4。接着,他对内接正六边形和外接正六边形的边数分别加倍,将它们分别变成内接正12边形和外接正12边形,再借助勾股定理改进圆周率的下界和上界。他逐步对内接正多边形和外接正多边形的边数加倍,直到内接正96边形和外接正96边形为止。最后,他求出圆周率的下界和上界分别为223/71 和22/7, 并取它们的平均值3.141851 为圆周率的近似值。阿基米德用到了迭代算法和两侧数值逼近的概念,称得上是“计算数学”的鼻祖。

中国古算书《周髀算经》(约公元前2世纪)的中有“径一而周三”的记载,意即取

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。 汉朝时,张衡得出

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,即

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(约为3.162)。这个值不太准确,但它简单易理解。

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中国数学家刘徽在注释《九章算术》(263年)时只用圆内接正多边形就求得π的近似值,也得出精确到两位小数的π值,他的方法被后人称为割圆术。他说“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。”,包含了求极限的思想。他用割圆术一直算到圆内接正192边形,得出π≈根号10(约为3.141024)。刘徽在得圆周率=3.14之后,将这个数值和晋武库中汉王莽时代制造的铜制体积度量衡标准嘉量斛的直径和容积检验,发现3.14这个数值还是偏小。于是继续割圆到1536边形,求出3072边形的面积,得到令自己满意的圆周率

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南北朝时代著名数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值(约5世纪下半叶),给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927,还得到两个近似分数值,密率355/113和约率22/7。密率是个很好的分数近似值,要取到

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才能得出比

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略准确的近似。

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他的辉煌成就比欧洲至少早了1000年。其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托(Valentinus Otho)得到,1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中,欧洲不知道是祖冲之先知道密率的,将密率错误的称之欧洲称之为Metius’ number或安托尼斯率。

约公元530年,印度数学大师阿耶波多算出圆周率约为

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婆罗摩笈多采用另一套方法,推论出圆周率等于10的算术平方根。

阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值,打破祖冲之保持近千年的纪录。

法国数学家韦达,第一个人以算式来表示并求出圆周率的值,圆周率的计算有了新的突破,这个算式记载在1593年出版的《数学问题面面观》中。

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德国数学家鲁道夫·范·科伊伦(Ludolph van Ceulen)于1596年将π值算到20位小数值,后投入毕生精力,于1610年算到小数后35位数,该数值被用他的名字称为鲁道夫数。

分析法时期

这一时期人们开始利用无穷级数或无穷连乘积求π,摆脱可割圆术的繁复计算。无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达式纷纷出现,使得π值计算精度迅速增加。

第一个快速算法由英国数学家梅钦(John Machin)提出,1706年梅钦计算π值突破100位小数大关,他利用了如下公式:

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其中arctan x可由泰勒级数算出。类似方法称为“梅钦类公式”。

斯洛文尼亚数学家Jurij Vega于1789年得出π的小数点后首140位,其中只有137位是正确的。这个世界纪录维持了五十年。他利用了梅钦于1706年提出的数式。

1965年,英国数学家约翰·沃利斯(John Wallis)出版了一本数学专著,其中他推导出一个公式,发现圆周率等于无穷个分数相乘的积。无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达式纷纷出现,π值计算精度也迅速增加。1706年英国数学家梅钦计算π值突破100位小数大关。1873年另一位英国数学家尚可斯将π值计算到小数点后707位,可惜他的结果从528位起是错的。到1948年英国的弗格森(D. F. Ferguson)和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值,成为人工计算圆周率值的最高纪录。

计算机时代

电子计算机的出现使π值计算有了突飞猛进的发展。1949年,美国制造的世上首部电脑-ENIAC(ElectronicNumerical Integrator And Computer)在阿伯丁试验场启用了。次年,里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这部电脑,计算出π的2037个小数位。这部电脑只用了70小时就完成了这项工作,扣除插入打孔卡所花的时间,等于平均两分钟算出一位数。五年后,IBM NORC(海军兵器研究计算机)只用了13分钟,就算出π的3089个小数位。科技不断进步,电脑的运算速度也越来越快,在60年代至70年代,随着美、英、法的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争,π的值也越来越精确。在1973年,Jean Guilloud和Martin Bouyer以电脑CDC 7600发现了π的第一百万个小数位。

在1976年,新的突破出现了。萨拉明(Eugene Salamin)发表了一条新的公式,那是一条二次收敛算则,也就是说每经过一次计算,有效数字就会倍增。高斯以前也发现了一条类似的公式,但十分复杂,在那没有电脑的时代是不可行的。这算法被称为布伦特-萨拉明(或萨拉明-布伦特)演算法,亦称高斯-勒让德演算法。

1989年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷-2型(Cray-2)和IBM-3090/VF型巨型电子计算机计算出π值小数点后4.8亿位数,后又继续算到小数点后10.1亿位数。2010年1月7日——法国工程师法布里斯·贝拉将圆周率算到小数点后27000亿位。2010年8月30日——日本计算机奇才近藤茂利用家用计算机和云计算相结合,计算出圆周率到小数点后5万亿位。

2011年10月16日,日本长野县饭田市公司职员近藤茂利用家中电脑将圆周率计算到小数点后10万亿位,刷新了2010年8月由他自己创下的5万亿位吉尼斯世界纪录。56岁的近藤茂使用的是自己组装的计算机,从10月起开始计算,花费约一年时间刷新了纪录。

2015年,罗切斯特大学的科学家们在氢原子能级的量子力学计算中发现了圆周率相同的公式 。

2019年3月14日,谷歌宣布圆周率现已到小数点后31.4万亿位。

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石雕祖冲之

让我们穿越时间隧道,比较阿基米德、祖冲之等人的计算结果,了解圆周率的文化价值,体会祖冲之的伟大之处。

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